प्रश्न- सामान्य संभावना वक्र के उपयोग बताइये।

उत्तर -

सामान्य संभावना वक्र के उपयोग

सामान्य संभावना वक्र का महत्व व्यावहारिक विज्ञानों में बहुत है। मूल्यांकन तथा मापन के क्षेत्र में भी इसका व्यापक महत्व है। चिन्ता, बुद्धि, स्मृति जैसे चरों को इसके द्वारा प्रदर्शित करते हैं। इसकी सहायता से निम्नलिखित समस्याओं का समाधान कर सकते हैं -

1. दी गयी सीमाओं के मध्य प्राप्तांकों का प्रतिशत ज्ञात करना (To find out the Percentage of cases with in given limits) :

उदाहरण 1- एक सामान्य अंक वितरण में प्राप्तांकों का मध्यमान 60 तथा प्रमाणिक विचलन 3.6 है। गणना के आधार पर बताइये कि कितने प्रतिशत विद्यार्थियों ने 55 से 65 के मध्य प्राप्तांक प्राप्त किये।

हल - सबसे पहले सिगमा दूरी निम्न सूत्र की सहायता से ज्ञात करेंगे। इसे Z - Scores भी कहते हैं -

          X - M              x
Z = -------------- = --------
              σ                 σ

                                         X - M
प्राप्तांक 55 की σ दूरी. = -------------------------
                                             σ

     55-60           - 5
= ------------ = ------ = -1.39σ
      3.6              σ  

                                                   X - M
प्राप्तांक 65 की σ दूरी. = -------------------------
                                                      σ

     65-60            5
= ------------ = ------ =  1.39 σ
      3.6              σ  

अब 55 से 65 तक प्राप्तांक पाने वालों का प्रतिशत ज्ञात करने के लिए यह ज्ञात करना है कि -1.39σ से +1.39σ के मध्य कितने केस आयेंगे। इसके लिए NPC तालिका (जो अंत मे दी गई) देखनी पडेगी।

M +1.39σ = 41.77 केस, M –1.39σ = 41.77 केस

अत: M-1.39σ तथा M + 1.39σ के मध्य कुल केसेज की संख्या 41.77 + 41.77% = 83.54 होगी जिसे चित्र में दिखाया गया है।

2. सामान्य वितरण में विभिन्न प्रतिशतों के मध्य के प्राप्तांकों की सीमाएँ ज्ञात करना (To Find the Limits of Score between Certain Percentage of Normal Distribution) :

उदाहरण 2 - एक सामान्य वितरण में मध्यमान 60 है तथा प्रामाणिक विचलन 6 है। गणना के आधार पर बताइये कि वितरण के मध्य 50% विद्यार्थियों की न्यूनतम तथा उच्चतम सीमायें क्या होंगी? हल - सामान्य वितरण में 50% विद्यार्थियों से आशय है कि वितरण के मध्यमान के एक ओर 25% तथा दूसरी ओर 25% विद्यार्थी हैं। अब NPC तालिका में देखेंगे कि 25% छात्र मध्यमान से कितनी दूरी पर उपस्थित हैं। 25% अर्थात 2500 या इसके लगभग का अंक ढतर तालिका में देखेंगे। 2500 तो नहीं पर इसके निकट का अंक 2486 है। 2486 NPC तालिका में ० दूरी बायीं ओर 0.6 तथा ऊपर 0.01 है। दूरी का सूत्र निम्नलिखित है-

       X - M         X - M
Z = --------- = -----------
          σ              SD

जब इस सूत्र से x का मूल्य ज्ञात करते हैं तो यह सूत्र इस प्रकार से होता है।

X = M + SD x Z

उदाहरण में N का मान 60 तथा SD 6 है तथा Z का मान उपर्युक्त वर्णन के अनुसार 67 है। इन मूल्यों को सूत्र में रखने पर y का मान धनात्मक दिशा में निम्न होगा-

X = M + SD x Z = 60 + 6 x 6.7

= 60 + 3.35 = 63.35 = 63

ऋणात्मक दिशा में मान होगा

X = M + SD x (-Z)

= 60 + 5 x(−.67)

= 60 - 3.35

= 56.65 = 57

प्राप्तांकों की निम्नतम सीमा 57 तथा उच्चतम सीमा 60 है। इसे चित्र में दिखाया गया है।

वितरण के मध्य 50% विद्यार्थी की निम्नतम सीमा 57 तथा अधिकतम सीमा 63 है।

3. दो अतिव्यापी वितरणों की तुलना करना (To Compare the hard Distributions in Terms of Overlapping):

उदाहरण - 3 एक बुद्धि परीक्षण में सातवीं कक्षा का मध्यमान 28.00 और SD = 3.6 है और आठवीं कक्षा का मध्यमान 32:60 तथा SD 3.2 है।

(1) गणना के आधार पर बताइये कि सातवीं कक्षा के कितने प्रतिशत छात्र आठवीं कक्षा मध्यमान से ऊपर हैं।

(2) गणना के आधार पर बताइये कि आठवीं कक्षा के कितने प्रतिशत छात्र सातवीं कक्षा के मध्यमान से नीचे होंगे।

हल - इस प्रकार के प्रश्नों में M तथा SD को Z प्राप्तांक में परिवर्तित करने के लिए निम्न उपाय करेंगे। आठवीं कक्षा के ऊपर पूछा गया है इस कारण X के रूप में आठवीं कक्षा का मध्यमान आयेगा। सातवीं कक्षा के मध्यमान को नीचे पूछा गया है इसलिए X का मान सातवीं कक्षा का मध्यमान आयेगा।

          X - M  
Z = -------------
             σ    

     32.60 - 28          4.6
= ---------------- = ---------- = 1.28
         3.6                  3.6

σ या Z = 1.28, 39.97 %

              X - M         28-32.60         3.7
2.  Z= ------------- = ------------- = --------
                  σ                  3.2            3.2

या Z = - 1.160 = 37.70

1. सातवीं कक्षा के 10% (50 39.97 = 10.03) छात्र आठवीं कक्षा के मध्यमान से ऊपर हैं।

2. आठवीं कक्षा के 12% (50 - 37.70 = 12.30) छात्र सातवीं कक्षा के मध्यमान से नीचे है। इसे चित्र द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

4. परीक्षण के प्रश्नों के कठिनाई स्तर को ज्ञात करना (To Find out the Difficulty Level of the Items) : परीक्षणों के प्रश्नों का कठिनाई स्तर जानने के लिए आवश्यक है कि परीक्षणों के प्रश्नों का सम्बन्ध ज्ञात हो। प्रत्येक प्रश्न को कितने % छात्रों ने हल किया? प्रश्न को सही हल करने वाले छात्रों का प्रतिशत जैसे-जैसे घटता है प्रश्न का कठिनाई स्तर उसी प्रतिशत में बढ़ता जाता है।

उदाहरण 4. एक परीक्षण में A, B, C, D पदों को परीक्षार्थियों ने क्रमशः 30%, 40%, 45%, 50% हल किया। गणना के आधार पर प्रश्नों का कठिनाई स्तर ज्ञात करें। प्रश्न एक-दूसरे से कितने कठिन हैं तथा उनके मध्य जो कठिनाई का अंतर है उसकी तुलना करें।

हल - यह पहले ही से ज्ञात है कि सामान्य वितरण के मध्यमान के दोनों तरफ 50-50 केसेज होते हैं। यह भी बता चुके हैं कि सामान्य संभावना वक्र में प्रश्नों के कठिनाई स्तर की व्याख्या सिगमा दूरी के आधार पर करते हैं।

प्रश्नों का कठिनाई स्तर

कठिनाई स्तर की तालिका देखने से ज्ञात होता है कि मध्यमान में सिगमा दूरी सबसे अधिक प्रश्न A की, फिर उससे कम B प्रश्न की, फिर उससे कम C प्रश्न की तथा D प्रश्न की मध्यमान से 0 सिगमा दूरी है। अतः कह सकते हैं कि प्रश्न A सबसे कठिन प्रश्न B A से कम कठिन तथा प्रश्न C प्रश्न A और प्रश्न B से कम कठिन है। D सबसे कम कठिन है।

1. A प्रश्न B प्रश्न से (.84σ - .52σ = .32σ) 0.32σ अधिक कठिन है।
2. A प्रश्न C प्रश्न से (.84σ - .25σ = .59σ) 0.59σ अधिक कठिन है।
3. A प्रश्न D प्रश्न से (.84σ - 0.0σ = .84σ) 0.84σ अधिक कठिन है।

4. B प्रश्न C प्रश्न से ( .52σ - 0.25σ = .27σ) 0.27σ अधिक कठिन है।

5. B प्रश्न D प्रश्न से ( 52σ - 0.0σ = .52σ) 0.52σ अधिक कठिन है।
6. C प्रश्न D प्रश्न से ( .25σ- 0.0σ = .25σ) 0.25σ अधिक कठिन है।

5. सामान्य संभावना के आधार पर एक अंक वितरण को विभिन्न उपसमूहों में विभाजित करना (To Divide a given Group in to Supgroup on the Assumptions of Normal Probability):

उदाहरण - 5 एक शिक्षाशास्त्र की परीक्षा के आधार पर 200 छात्रों को A, B, C तीन भागों में, विभाजित करना है। प्रत्येक वर्ग में छात्रों की संख्या ज्ञात करें।

हल - सामान्य वितरण में प्राप्तांकों का अधिकांश विस्तार M से धनात्मक दिशा में 30 तथा ऋणात्मक दिशा में - 30 तक अर्थात् कुल 60 है। (60 के अन्तर्गत 99.73 केसेज ही आते हैं) प्रत्येक भाग की आपस की दूरी 60 / 3=26 होगी। प्रत्येक भागों को चित्र में दर्शाया गया है।

NPC तालिका के अनुसार उपर्युक्त वितरण में A वर्ग में 50-10 या 50% - 34.13% = 15.87% छात्र होंगे। NPC तालिका के अन्तर्गत 34.13 केस होते हैं अतः B वर्ग में 34.13% + 34.13% = 69.26% छात्र आयेंगे ( वर्ग में छात्रों का प्रतिशत A वर्ग के समान होगा)

6. Z प्राप्तांकों तथा T प्राप्तांकों की गणना (Calculations of Z-Scores and T Scores) -

उदाहरण 6 - एक परीक्षा में राम को 70 अंक मिले तथा मोहन को 60 अंक मिले। प्राप्तांकों के वितरण का मध्यमान 40 तथा SD 6 है तो राम और मोहन के अंकों का Z प्राप्तांक ज्ञात कीजिये। इन्हें T प्राप्तांक में भी बदलिये।

हल - Z प्राप्तांक का निम्न सूत्र है -

        X - M         x
Z = ----------- = ----
            σ             σ

                                    70 - 40             30
राम का Z प्राप्तांक = --------------- = ---------- = 5σ
                                        6                    6

                                    X-M             60-40               20
मोहन का Z प्राप्तांक = --------- = ----------------- = -------- = 3.33σ
                                       σ                     6                  6

Z - प्राप्तांकों में दशमलव का चिन्ह समाप्त कर देने के लिये Z - scores को T - scores में परिवर्तित कर देते हैं।

T = 10 (Z) + 50

राम का T प्राप्तांक = 10(5)+50 = 50+50 = 100

मोहन का T प्राप्तांक = 10(3.33)+50 = 33.30+50

            = 83.30 = 83

T प्राप्तांक हमेशा पूर्ण संख्या में तथा धनात्मक होते हैं। T पैमाने का विस्तार 0 से 100 तक होता है।

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